Fibonacci Sayıları ve Altın Oran

vasko · #1 (**permalink**) 06-08-2008, 22:51

1.618

Altın oran, doğada sayısız canlının ve cansızın şeklinde ve yapısında bulunan özel bir orandır.Altın oran, doğada, bir bütünün parçaları arasında gözlemlenen, yüzyıllarca sanat ve mimaride uygulanmış,uyum açısından en yetkin boyutları verdiği sanılan geometrik ve sayısal bir oran bağıntısıdır. Doğada en belirgin örneklerine insan vücudunda, deniz kabuklulularında ve ağaç dallarında rastlanır.Platon'a göre kozmik fiziğin anahtarı bu orandır. Altın oranı bir dikdörtgenin boyunun enine olan "en estetik" oranı olarak tanımlayanlar da vardır.
Eski Mısırlılar ve Yunanlılar tarafından keşfedilmiş, mimaride ve sanatta kullanılmıştır. Göze çok hoş gelen bir orandır.

Bir doğru parçasının (AB) Altın Oran'a uygun biçimde iki parçaya bölünmesi gerektiğinde, bu doğru öyle bir noktadan (C) bölünmelidir ki; küçük parçanın (AC) büyük parçaya (CB) oranı, büyük parçanın (CB) bütün doğruya (AB)oranına eşit olsun.
Altın Oran, pi (π) gibi irrasyonel bir sayıdır ve ondalık sistemde yazılışı; 1.618033988749894... dür. (noktadan sonraki ilk 15 basamak). Bu oranın kısaca gösterimi: [1 sqr(5)]/2 olur. sqr (5), beşin karekökünü göstermektedir.

Altın Oran; CB / AC = AB / CB = 1.618;
bu oranın değeri her ölçü için 1.618 dir.

Altın Oranın ifade edilmesi için kullanılan sembol, PHI yani Φ 'dir.

Tarihçe
Altın Oran, matematikte ve fiziksel evrende ezelden beri var olmasına rağmen, insanlar tarafından ne zaman keşfedildiğine ve kullanılmaya başlandığına dair kesin bir bilgi mevcut değildir. Tarih boyunca birçok defa yeniden keşfedilmiş olma olasılığı kuvvetlidir.
Euclid (M.Ö. 365 – M.Ö. 300), "Elementler" adlı tezinde, bir doğruyu 0.6180399... noktasından bölmekten bahsetmiş ve bunu, bir doğruyu ekstrem ve önemli oranda bölmek diye adlandırmıştır. Mısırlılar keops Piramidi'nin tasarımında hem pi hem de phi oranını kullanmışlardır. Yunanlılar, Parthenon'un tüm tasarımını Altın Oran'a dayandırmışlardır. Bu oran, ünlü Yunanlı heykeltraş Phidias tarafından da kullanılmıştır. Leonardo Fibonacci adındaki İtalyan matematikçi, adıyla anılan nümerik serinin olağanüstü özelliklerini keşfetmiştir fakat bunun Altın Oran ile ilişkisini kavrayıp kavramadığı bilinmemektedir. Leonardo da Vinci, 1509'da Luca Pacioli'nin yayımladığı İlahi Oran adlı bir çalışmasına resimler vermiştir. Bu kitapta Leonardo Leonardo da Vinci tarafından yapılmış Five Platonic Solids (Beş Platonik Cisim) adlı resimler bulunmaktadır. Bunlar, bir küp, bir Tetrahedron, bir Dodekahedron, bir Oktahedron ve bir Ikosahedronun resimleridir. Altın Oran'ın Latince karşılığını ilk kullanan muhtemelen Leonardo da Vinci 'dir. Rönesans sanatçıları Altın Oran'ı tablolarında ve heykellerinde denge ve güzelliği elde etmek amacıyla sıklıkla kullanmışlardır. Örneğin Leonardo da Vinci, Son Yemek adlı tablosunda, İsa'nın ve havarilerin oturduğu masanın boyutlarından, arkadaki duvar ve pencerelere kadar Altın Oran'ı uygulamıştır. Güneş etrafındaki gezegenlerin yörüngelerinin eliptik yapısını keşfeden Johannes Kepler (1571-1630), Altın Oran'ı şu şekilde belirtmiştir: "Geometrinin iki büyük hazinesi vardır; biri Pythagoras'ın teoremi, diğeri, bir doğrunun Altın Oran'a göre bölünmesidir." Bu oranı göstermek için, Parthenon'un mimarı ve bu oranı resmen kullandığı bilinen ilk kişi olan Phidias'a ithafen, 1900'lerde Yunan alfabesindeki Phi harfini Amerika'lı matematikçi Mark Barr kullanmıştır. Aynı zamanda Yunan alfabesindekine karşılık gelen F harfi de, Fibonacci'nin ilk harfidir.
Altın Oran, bir sayının insanlık, bilim ve sanat tarihinde oynadığı inanılmaz bir roldür. Phi, evren ve yaşamı anlama konusunda bizlere yeni kapılar açmaya devam etmektedir. 1970'lerde Roger Penrose, o güne kadar imkansız olduğu düşünülen, "yüzeylerin beşli simetri ile katlanması"nı Altın Oran sayesinde bulmuştur.

Fibonacci Sayıları ve Altın Oran

Fibonacci sayıları (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765... şeklinde devam eder) ile Altın Oran arasında ilginç bir ilişki vardır. Dizideki ardışık iki sayının oranı, sayılar büyüdükçe Altın Oran'a yaklaşır.

2/1 = 2.0

3/2 = 1.5

5/3 = 1.67

8/5 = 1.6

13/8 = 1.625

21/13 = 1.615

34/21 = 1.619

55/34 = 1.618

89/55 = 1.618

Fibonacci ardışıkları, Altın Oran ilişkisi yorumlamasıdır. Bir çok bitki filizlendiğinde, önce bir adet yaprak verir. Bir süre sonra bir yaprak daha açar, sonra iki tane daha... Sonra üç, beş, sekiz, onüç, yirmibir, otuzdört, vs. Pek çok bitki büyüme prensibi olarak kendisine Fibonacci ardışığını seçmiştir.

Yine birçok bitki, dallanma sırasında Fibonacci sayılarını izler:
Eğer bir bitkiyi dikkatle incelerseniz fark edersiniz ki, yapraklar hiçbir yaprak alttakini kapatmayacak şekilde dizilmiştir. Bu da demektir ki, her bir yaprak güneş ışığını eşit bir şekilde paylaşıyor ve yağmur damlaları bitkinin her bir yaprağına değebiliyor.
Bir bitkinin sapındaki yapraklarında, bir ağacın dallarının üzerinde hemen her zaman Fibonacci sayıları bulursunuz. Eğer yapraklardan biri başlangıç noktası olarak alınırsa ve bundan başlayarak, aşağıya ya da yukarıya doğru, başlangıç noktasının tam üstünde veya altında bir yaprak buluncaya kadar yapraklar sayılırsa bulunan yaprak sayısı farklı bitkiler için değişik olacaktır ama her zaman bir Fibonacci.

Altın Oran'ı anlatmanın en iyi yollarından biri, işe bir kare ile başlamaktır.

Bir kareyi tam ortasından iki eşit diktörgen oluşturacak şekilde ikiye bölelim.

Dikdörtgenlerin ortak kenarının, karenin tabanını kestiği noktaya pergelimizi koyalım. Pergelimizi öyle açalım ki, çizeceğimiz daire, karenin karşı köşesine değsin, yani yarı çapı, bir dikdörtgenin köşegeni olsun.

Sonra, karenin tabanını, çizdiğimiz daireyle kesişene kadar uzatalım.

Yeni çıkan şekli bir dikdörtgene tamamladığımızda, karenin yanında yeni bir dikdörtgen elde etmiş olacağız.

İşte bu yeni dikdörtgenin taban uzunluğunun (B) karenin taban uzunluğuna (A) oranı Altın Oran'dır. Karenin taban uzunluğunun (A) büyük dikdörtgenin taban uzunluğuna (C) oranı da Altın Oran'dır. A / B = 1.6180339 = Altın Oran C / A = 1.6180339 = Altın Oran

Elde ettiğimiz bu dikdörtgen ise, bir Altın Dikdörtgen'dir. Çünkü kısa kenarının, uzun kenarına oranı 1.618 dir, yani Altın Oran'dır.

Artık bu dikdörtgenden her bir kare çıkardığımızda elimizde kalan, bir Altın Dikdörtgen olacaktır.

İçinden defalarca kareler çıkardığımız bu Altın Dikdörtgen'in karelerinin kenar uzunluklarını yarıçap alan bir çember parçasını her karenin içine çizersek, bir Altın Spiral elde ederiz. Altın Spiral, birçok canlı ve cansız varlığın biçimini ve yapı taşını oluşturur.Buna örnek olarak Ayçiçeği bitkisini gösterebiliriz. Ayçiçeğinin çekirdekleri altın oranı takip eden bir spiral oluşturacak şekilde dizilirler.

Bu karelerin kenar uzunlukları sırasıyla Fibonacci sayılarını verir.

Beş Kenarlı Simetri

Phi'yi göstermenin bir yolu da, basit bir beşgen kullanmaktır. Yani, birbiriyle beş eşit açı oluşturarak birleşen beş kenar. Basitçe Phi, herhangi bir köşegenin herhangi bir kenara oranıdır.

AC / AB = 1,618 = PHI
Beşgenin içine ikinci bir köşegen ([BD]) çizelim. AC ve BD birbirlerini O noktasında keseceklerdir.

Böylece her iki çizgi de, bir noktadan ikiye bölünmüş olacaktır ve her parça diğeriyle Phi oranı ilişkisi içindedir. Yani AO / OC =Phi, AC / AO = Phi, DO / OB = Phi, BD / DO = Phi. Bir diğeri ile bölünen her köşegende, aynı oran tekrarlanacaktır.
Bütün köşegenleri çizdiğimiz zaman ise, beş köşeli bir yıldız elde ederiz.

Bu yıldızın içinde, ters duran diğer bir beşgen meydana gelir (yeşil). Her köşegen, başka iki köşegen tarafından kesilmiştir ve her bölüm, daha büyük bölümlerle ve bütünle, Phi oranını korur. Böylece, içteki ters beşgen, dıştaki beşgenle de Phi oranındadır.

Bir beşgenin içindeki beş köşeli yıldız, Pentagram diye adlandırılır ve Pythagoras'ın kurduğu antik Yunan Matematik Okulu'nun sembolüdür. Eski gizemciler Phi'yi bilirlerdi ve Altın Oran'ın fiziksel ve biyolojik dünyamızın kurulmasındaki önemli yerini anlamışlardı
Bir beşgenin köşegenlerini birleştirdiğimizde, iki değişik Altın Üçgen elde ederiz. Mavi üçgenin kenarları tabanı ile ve kırmızı üçgenin tabanı da kenarı ile Altın Oran ilişkisi içerisindedir.

Phi, kendini tekrarlayan bir özelliğe de sahiptir. Altın Orana sahip her şekil, Altın Oranı kendi içinde sonsuz sayıda tekrarlayabilir. Aşağıdaki şekilde, her beşgenin içinde meydana gelen pentagramı ve her pentagramın oluşturduğu beşgeni ve bunun makro kozmik ve mikro kozmik sonsuza kadar Altın Oranı tekrarlayarak devam ettiğini görebiliriz.

Beşgen, Altın Oranı açıklamak için oldukça basit ve iyi bir yöntem olmakla birlikte, bu oranın belirtilmesi gereken çok daha karmaşık ve anlaşılması zor bir takım özellikleri de vardır. Altın Oran daha iyi anlaşıldıkça, biyolojik ve kozmolojik birçok büyük uygulama örnekleri daha iyi görülebilecektir.

vasko · #2 (**permalink**) 06-08-2008, 22:52

1.618 olan bu sayı daha çok doğada ve insan vucunuda raslanmaktadır. butunun parçalara oranını ifade eden bu terim aynı zamanda her zaman 1,618 sayısını ortaya koymaktadır.

arı kovanlarında yaşayan dişi arıların sayısının erkek arıların sayısına bolundugunde hep aynı sayı elde edilir. yani 1.618

leonardo da vinci nin ünlü cıplak erkegini gosteren vitruvius adamında da aynı oranlar mevcuttur

altın oran ın görüldüğü ve kullanıldığı yerler

1. ayçiçeği: ayçiçeği nin merkezinden dışarıya doğru sağdan sola ve soldan sağa doğru tane sayılarının birbrine oranı, altın oranı verir.

2. papatya çiçeği: papatya çiçeğinde de ayçiçeğinde olduğu gibi bir altın oran mevcuttur.

3. ınsan kafası: bildiğiniz gibi her insanın kafasında bir ya da birden fazla saçların çıktığı düğüm noktası denilen bir nokta vardır. ışte bu noktadan çıkan saçlar doğrusal yani dik değil, bir spiral, bir eğri yaparak çıkmaktadır. ışte bu spiralin ya da eğrinin tanjantı yani eğrilik açısı bize altın oranı verecektir.

4. ınsan vücudu: ınsan vücudunda altın oran ın nerelerde görüldüğüne bakalım:
4.1. kollar: ınsan vücudunun bir parçası olan kolları dirsek iki bölüme ayırır(büyük(üst) bölüm ve küçük(alt) bölüm olarak). kolumuzun üst bölümünün alt bölüme oranı altın oranı verceği gibi, kolumuzun tamamının üst bölüme oranı yine altın oranı verir.

4.2. parmaklar: ellerimizdeki parmaklarla altın oranın ne alakası var diyebilirsiniz. ışte size alaka... parmaklarınızın üst boğumunun alt boğuma oranı altın oranı vereceği gibi, parmağınızın tamamının üst boğuma oranı yine altın oranı verir.

5. tavşan: ınsan kafasında olduğu gibi tavşanda da aynı özellik vardır.

6. mısır piramitleri: her bir piramitin tabanının yüksekliğine oranı yine altın oranı veriyor.

7. leonardo da vinci: bilindiği gibi leonardo da vinci rönesans devri ünlü ressamlarındandır. şimdi bu ünlü ressamın çizmiş olduğu tabloları inceleyelim.

7.1. mona lisa: bu tablonun boyunun enine oranı altın oranı verir.

7.2. aziz jerome: yine tablonun boyunun enine oranı bize altın oranı verir.

8. picasso: picasso da leonardo da vinci gibi ünlü bir ressamdır. ve resimlerinde bu oranı kullanmıştır.

9. çam kozalağı: çam kozalağındaki taneler kozalağın altındaki sabit bir noktadan kozalağın tepesindeki başka bir sabit noktaya doğru spiraller (eğriler) oluşturarak çıkarlar. ışte bu eğrinin eğrilik açısı altın orandır.

10. deniz kabuğu: denize çoğumuz gitmişizdir. deniz kabuklarına dikkat edenimiz, belki de kolleksiyon yapanımız vardır. ışte deniz kabuğunun yapısı incelendiğinde bir eğrilik tespit edilmiş ve bu eğriliğin tanjantının altın oran olduğu görülmüştür.

11. tütün bitkisi: tütün bitkisinin yapraklarının dizilişinde bir eğrilik söz konusudur. bu eğriliğin tanjantı altın orandır.

12. eğrelti otu: tütün bitkisindeki aynı özellik eğrelti otu nda da vardır.

13. elektrik devresi: altın oran sadece matematik ve kainatta değil,

fizik te de kullanılıyor. verilen n tane dirençten maximum verim elde etmek için bir paralel bağlama yapılması gerekir. bu durumda eşdeğer direnç, yani reş= yani altın oran olur.

14. salyangoz: salyangozun kabuğu bir düzleme aktarılırsa, bu düzlem bir dikdörtgen oluşturur (-ki biz bu dikdörtgene altın dikdörtgen diyoruz.-) ışte bu dikdörtgenin boyunun enine oranı yine altın oranı verir.

15. mımar sınan: mimar sinan ın da bir çok eserinde bu altın oran görülmektedir. mesela süleymaniye ve selimiye camileri nin minarelerinde bu oran görülmektedir.

ınsan vücudunda altın oran

ınsan gözünün altın oran a bu kadar yakın olmasının, estetik açıdan sürekli olarak altın oran a uygun şekil ve yapıları tercih etmesinin bir nedenini, yaşadığı çevre olan doğada hemen her an altın oran la karşı karşıya olmasının yanı sıra, kendi vücudunun hemen her noktasında altın oran a sahip olmasında arayabiliriz. aşağıda oranlarda insanında ne kadar altın oran örneği olduğunu göreceksiniz:

boy/ (bölü)bacak boyu

beden boyu/kolaltı beden boyu

tam kol boyu(boyun-parmak ucu)/dirsek - boğaz

parmak ucu - omuz/parmak ucu - dirsek

göbek - omuz/göbek - bel

ınsan yüzünde altın oran

ıdeal ölçülere sahip bir insan yüzünde de sayısız altın oran örnekleri görmek mümkündür:

yüz yüksekliği/yüz genişliği

tepe - göz yüksekliği/saç dibi - göz yüksekliği

göz - çene arası/burun - çene arası

alın genişliği/burun boynu

göz - ağız/burun boyu

burun altı - çene/ağız - çene

yüz genişliği/gözbebekleri arası

gözbebekleri arası/ağız genişliği

ağız genişliği/burun genişliği

görüldüğü gibi altın oran doğanın güzellik ölçüsü durumundadır. bu yazıyı okuduktan sonra elinize cetveli alıp eninizi boyunuzu ölçmeye kalkmayın.

vasko · #3 (**permalink**) 06-08-2008, 22:53

Bitkiler alemine genel bir bakışla yaklaşıldığında ise, bitki sapları üzerindeki yaprakların dizilişinin Fibonacci dizisine uygun olduğu görülür. Bu yargı; kavak, elma, muz, armut, karaağaç gibi birçok bitki için geçerlidir.

Şekilde görüldüğü gibi sap üzerindeki yapraklar Fibonacci sayılarına uygun olarak, birbirlerini kapatmayacak şekilde sıralanır. Sap üzerindeki ilk yaprağı “1” numara olarak alırsak; “1” numara ile aynı yönde olan bir sonraki yaprağa ulaşmak için saat yönünde 3 defa dönmemiz gerekir. Bunun sonuncunda toplam 5 yaprak sayarız. Bu
dönüşü saat yönünün tersinde yaparsak, 2 tur atmamız gerekecek ve bu da bize “2, 3, 5” ardışık Fibonacci dizisini verecektir.

Tütün bitkisi yapraklarının dizilişindeki Fibonacci dizisi ise, bitkinin güneşten ve havadaki karbondioksitten optimum düzeyde faydalanmasını sağlayarak, yüksek düzeyde fotosentez yapmasına olanak verir. Bu özellik eğrelti otunda da gözlemlenmektedir.
Ayçiçeğinin üstündeki spiral şeklinde dizilmiş tohumları saat yönünde ve tersi yönde saydığımızda ardışık iki Fibonacci sayısına ulaşırız. Papatya çiçeğinde de aynı Fibonacci dizisi gözlenmektedir. Benzer bir durum çam kozalağı üzerindeki tanelerde de mevcuttur. Bu taneler kozalağın alt kısmındaki sabit bir noktadan başlayarak, tepe noktasındaki başka bir sabit noktaya doğru eğriler çizerek gelişirler ve bu gelişim sonunda taneleri soldan sağa ve sağdan sola doğru sayarsak başka bir Fibonacci dizisi elde ederiz.

vasko · #4 (**permalink**) 06-08-2008, 22:54

Mona Lisa’nın başı etrafına bir dörtgen çizildiğinde, sağlanan dörtgen altın orana uymakta olup resmin boyutları da altın oranı vermektedir. Fibonacci dizisindeki bir terim, ondan önce gelen bir terime bölündüğünde, bölümün sonsuza eşit olması için irrasyonal bir sayı olan altın oran sayısına yaklaştığı görülmektedir.

vasko · #5 (**permalink**) 06-08-2008, 22:56

2 eliniz var, iki elinizdeki parmaklar 3 bölümden oluşur. Her elinizde 5 parmak vardır ve bunlardan sadece 8'i altın orana göre boğumlanmıştır. 2, 3, 5 ve 8 fibonocci sayılarına uyar.

daha fazla bilgi için

TIKLA

vasko · #6 (**permalink**) 06-08-2008, 22:57

Bu oran her insanda bulunmazmış; Hani bazen yürürken herkezin bakakaldığı şu güzellik abidesi kızlarda yada her kızın hayran kaldığı o yakışıklı erkeklerde bulunurmuş bu altın oran.

Aralarında altın diktörtgenin bulunduğu 4 farklı dikdörtgenden hangisinin daha güzel olduğu sorulduğunda cevap olarak her seferinde altın diktörgeni gösterirlermiş.

Altın oranı bilmeyen birisine kendisi için basit ve güzel bir şey çizmesini istediklerinde çizdiğinin her hangi bir yerinde mutlaka 1.618 oranı bulunurmuş. (basit şeylerde oranı bulabilmek daha kolay)

Sanırım sonuç olarak güzellik gibi kavramların oranı 1.618 olabilir. Öyle bir şeyin olmasını istemem ama olabilir
Siz bile sanatlarınızda bilmeden bu oranı kullanmış olabilirsiniz.
Sanat gibi insanın düşünsel zevklerini böyle matamatiksel işlemelerle açıklama düşüncesi çok üzücü ve korkutucu

vasko · #7 (**permalink**) 06-08-2008, 22:57

Kendisine 1 eklendiğinde karesini veren tek sayı 1.618 dir:

1.618 + 1 = 2.618
1.618 . 1.618 =2.618

Kendisinden 1 çıkarılınca kendi tersini veren tek sayı 1.618 dir:

1.618 - 1 = 0.618
1\1.618 = 0.618

vasko · #8 (**permalink**) 06-08-2008, 22:58

vasko · #9 (**permalink**) 06-08-2008, 22:58

altın oranı kalp atışlarında bile bulmak mümkün.

Kulağa biraz zorlama gibi gelse de ekg görüntüsünü bir kontrol edin.

Kalp bu resme göre Phi sayısına uygun atıyor ancak emin olabilmek için başka bir ekg bulup denemesi mümkün tabii.

vasko · #10 (**permalink**) 06-08-2008, 22:59

Gezegenlerin birbirlerine olan uzaklıklarından tutun da, Satürn’ün halkalarına hatta evrenin kendi şekline kadar phi sayısı tekrar tekrar kendini gösterir.

Yeni buluşlar göstermiştir ki evrenin şekli bir dodecahedrondur (12 yüzü eşkenar beşgenlerden (pentagon) oluşan bir yapı ki bu da temelinde phi sayısı olan bir yapı olarak kendini gösterir.