Bu yazı cevaba altyapı oluşturacak, şimdiden buraya koyalım... Bir iktisat sitesi olmadığı için ayrı bir başlık açmaya gerek yok, burada kapsanabilir.
************************************************** ************************************************** **********************
Nash Dengesi
Oyun Teorisinde, bu teoriyi öne süren John Forbes Nash’ten ismini alan Nash Dengesi , iki ya da daha çok oyuncunun yer aldığı, her oyuncunun diğer oyuncuların denge stratejilerini bildiğinin varsayıldığı ve hiçbir oyuncunun sadece kendi stratejisini (tek taraflı olarak) değiştirerek bir şey kazanamayacağı bir oyuna yönelik bir çözüm kavramıdır. Her oyuncunun bir strateji belirlediği ve diğer oyuncular kendi stratejilerini sabit tuttukları sürece hiçbir oyuncunun strateji değişikliği ile bir kazanç sağlayamadığı durumdaki mümkün olan strateji seçimleri ve bunların getirileri Nash Dengesini oluşturur. Diğer bir deyişle Nash Dengesi olabilmesi için her oyuncunun “Diğer oyuncuların stratejilerinin ne olduğunu ve bunların değişmezliklerini bilmek kaydıyla, kendi stratejimi değiştirmekten fayda sağlayabilir miyim?” sorusuna olumsuz yanıt vermesi gereklidir.
Basit olarak belirtmek gerekirse, oyuncular Amy ve Bill iken, Amy Bill’in kararını dikkate alarak verebileceği en iyi kararı veriyorsa ve aynı şekilde Bill de Amy’nin kararını dikkate alarak kendi en iyi kararını veriyorsa, Amy ve Bill Nash Dengesindedir. Aynı şekilde karşılarındaki diğer oyuncuların kararlarını dikkate alarak kendi en iyi kararlarını veren oyuncuların tümünün de Nash Dengesinde olduğu söylenebilir. Ancak Nash Dengesinin oyunda yer alan her oyuncu için mümkün olan en iyi kazanımı ifade etmesi gerekmez; pek çok durumda oyuncular bir şekilde Nash Dengesinden farklı stratejiler üzerinde mutabakat sağlayabilirlerse (ör. rekabet içindeki işadamlarının kârlarını yükseltmek amacıyla bir kartel oluşturmaları ) kendi kazanımlarını daha da iyileştirebilirler.
Tarihçe
Saf stratejiler arasında Nash Dengesi (ND) kavramı ilk olarak Antoine Augustin Cournot tarafından Oligopol Teorisinde geliştirilmiştir. Firmalar kârlarını maksimize etmek amacıyla belli bir üretim miktarı belirlerler. Ancak bir firmanın en iyi üretim miktarını aslında pazardaki diğer firmaların üretim miktarları belirler. Rakip firmaların üretim miktarı belli iken her firmanın kendi kârını maksimize edecek üretim miktarını belirlediğinde ortaya Cournot Dengesi çıkar ki, bu aslında saf-stratejili bir ND’dir. Ancak modern oyun teorisinde yer alan ND, oyuncuların verilmesi mümkün olan tüm kararlar arasında bir olasılık dağılımını seçtiği bir karma stratejiler bütünü olarak tarif edilir. Kavram olarak karma stratejili ND ilk olarak John von Neumann ve Oskar Morgenstern’in 1944 yılında yazdıkları Oyunlar ve İktisadi Davranış Teorisi kitabında yer almıştır. Yine de onların analizleri çok özel bir durum olan sıfır-toplamlı oyunlarla sınırlıdır. Sonlu davranış olasılıklarının yer aldığı her sıfır-toplamlı oyun için bir karma stratejili ND bulunduğunu göstermişlerdir. John Forbes Nash’in 1951 yılında yayımladığı Dayanışmasız Oyunlar makalesinin katkısı ise, sonlu davranış olasılıklarının yer aldığı herhangi bir oyun için karma stratejili bir ND tarif etmek ve en az bir karma stratejinin var olduğunu ispatlamak olmuştur.
Tanımlar
Gayrıresmi Tanım
Açıklama olarak, hiçbir oyuncunun tek taraflı olarak kendi stratejisini değiştirdiğinde daha iyi bir sonuç elde edemediği stratejiler topluluğu bir Nash Dengesidir. Bir deneme yanılma yöntemi olarak, öncelikle her oyuncuya diğer oyuncuların stratejilerinin söylendiği düşünülür. Eğer herhangi bir oyuncu bu stratejilerin ne olduğunu öğrendiğinde farklı bir şey yapmak isterse, o zaman mevcut stratejiler topluluğu bir Nash Dengesi değildir. Ancak bu durumda oyuncu stratejisini değiştirmek istemezse (ya da değiştirip değiştirmemek konusunda bir “fark etmez” noktasındaysa) o zaman mevcut stratejiler topluluğu bir Nash Dengesidir.
Nash çözümlerinin orjinal kullanımları oyuncuların kısıtlı strateji seçimleriyle sınırlandığı (belli parasal değerler için olduğu gibi) durumlarla çerçevelenmiştir ve genellikle sezgisel ve hatta aydınlatıcı sonuçlara varırlar.
Ancak bu çözümsel kavramın karşı sezgisel sonuçlarının da olabildiğinin farkına varılmıştır. Nash Dengesinin, diğerlerinin kendi seçimlerini sabit tuttuğu bir durumda bir oyuncunun yapacağı tercihler üzerinde yoğunlaştığı düşünülürse, oyuncuların dayanışma yapabildiği bir ortamda ortaya çıkacak daha iyi seçimlere geçmeleri durumunda birden çok Nash Dengesi bulunabilir.
Karşı sezgisel Nash Dengesine bir başka örnek de şudur: İki kişi içinde büyük bir bomba olan bir odaya girerler. İkisi de şu stratejiyi uygulayacaktır: “Karşı taraf tüm parasını yakmazsa bombayı ateşleyeceğim ve ben de tüm paramı yakacağım.”. Bu durumda her ikisi de karşı tarafın stratejisini bildiği sürece kendi en uygun stratejisini seçiyor olacaktır. Bu çözüm Nash’dir. Bir oyuncu için en uygun çözümü düşünelim: “Eğer paramın tümünü yakmazsam diğer oyuncu beni öldüreceğine göre benim için en uygunu tüm paramı yakmaktır. Diğer oyuncu da tüm parasını yakacağına göre, eğer yakmazsa bombayı ateşleyeceğime söz vermekle hiçbir şey kaybetmiş olmam, şu halde bu sözü vermek en uygun strateji seçimidir.” Bu tip yüksek tehditlerin olduğu karşı sezgisel durumlar “ikincil mükemmellikte” Nash Dengesi çözüm kavramının geliştirilmesine yol açmıştır.
Resmi Tanım
(S,f), S’nin strateji profilleri kümesi ve f’nin sonuç profilleri kümesini temsil ettiği bir oyun olsun. x − i, oyuncu i dışındaki oyuncular için bir strateji profili olsun. Her bir oyuncu
i E {1,...,n}, x = (x1,...,xn) strateji profilini veren bir xi stratejisi seçtiğinde, oyuncu i, fi(x) sonucunu elde etsin. Sonucun hem oyuncu i hem de diğer oyuncuların seçtikleri stratejilerin oluşturduğu profillere göre belirlendiğine dikkat edilmeli. Herhangi bir oyuncu için hiçbir tek taraflı streji sapmasının kazançlı olmadığı bir strateji profili bir Nash Dengesidir, yani
x(üzeri*) E S
ters Ai, fi, [ xi (üzeri *) , xi-1 (üzeri *)]>= fi[xi, xi-1 (üzeri *)]
Bir oyunun bir saf strateji Nash Dengesi olabileceği gibi, bir saf stratejinin stokastik ve sabit frekanslı bir şekilde seçilmesinden oluşan karma bir uzantısal Nash Dengesi de olabilir. Nash, eğer oyuncular daha evvelden belirlenmiş olasılıklara göre oluşan stratejiler arasından rastgele bir seçim yaparlarsa, oyuncularının sonlu birçok strateji arasından seçim yapabildiği her n oyunculu oyunun en az bir Nash Dengesi içerdiğini kanıtlamıştır.
Yukardaki eşitsizlik (yani >= yerine >olmak kaydı ile) her oyuncu ve her mümkün alternatif strateji için bir değişmez olarak alınırsa, o zaman denge Tam Nash Dengesi olarak adlandırılır. Onun yerine, eğer bir oyuncu için S kümesindeki stratejisi ve herhangi başka bir strateji arasında tam bir eşitlik varsa, o zaman denge Zayıf Nash Dengesi olarak adlandırılır.
kaynak:
Nash equilibrium - Wikipedia, the free encyclopedia (tarafımdan çevrilmiş hali, gerisi de var)